\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n !)^2}
Условие:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n !)^2}
Решение:
Этот ряд является примером ряда с положительными членами. Давайте проанализируем его сходимость.
Для начала, давайте рассмотрим отдельный член ряда:
(\frac{n^n}{(n!)^2})
Мы можем заметить, что (n^n) растет экспоненциально, а ((n!)^2) растет факториально. Поэтому, можно предположить, что этот ряд будет сходиться.
Для доказательства этого, мы можем использовать тест сравнения. Давайте сравним данный ряд с рядом (\frac{1}{n}), который является хорошо известным расходящимся рядом:
(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n})
Для этого, давайте рассмотрим отношение двух рядов:
(\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^n}{(n!)^2}}{\frac{1}{n}})
Упростим это выражение:
(\lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n!)^2} \cdot \frac{n}{1})
(\lim_{n \to \infty} \frac{n^{n+1}}{(n!)^2})
Мы можем заметить, что (n^{n+1}) растет экспоненциально, а ((n!)^2) растет факториально. Поэтому, это отношение будет стремиться к бесконечности.
Таким образом, по тесту сравнения, исходный ряд (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n!)^2}) также будет расходиться.
Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.
