Решение задач по геометрии: "В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А прове- дена высота АН. На продолжении гипотенузы ВС за точку ...
Условие:
Решение задач по геометрии: "В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А прове- дена высота АН. На продолжении гипотенузы ВС за точку С нашлась точка Х такая, что HX = (BH+CX):3 Докажите, что угол АВС = угол АХС."
Решение:
Для доказательства равенства углов АВС и АХС воспользуемся свойством подобных треугольников.
Пусть угол АВС обозначим как α, а угол АХС обозначим как β.
Так как треугольник АВС прямоугольный, то угол А равен 90 градусам. Также, по свойству прямоугольного треугольника, угол АНС также равен 90 градусам.
Так как АН является высотой треугольника АВС, то треугольники АНС и АХС подобны по двум углам, так как у них есть общий угол А и угол АНС является прямым.
Теперь рассмотрим отношение длин сторон треугольников АНС и АХС. По условию задачи, HX = (BH + CX)/3.
Так как треугольники АНС и АХС подобны, то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
Из этого следует, что HX/СХ = АН/ВН.
Так как АН/ВН = 1/2 (по свойству прямоугольного треугольника), то HX/СХ = 1/2.
Таким образом, HX = СХ/2.
Теперь рассмотрим треугольники АХС и ВСХ. У них есть общий угол Х, и сторона ХС общая для этих треугольников.
Так как HX = СХ/2, то угол АХС равен углу ВСХ (по свойству равенства углов при равенстве соответствующих сторон).
Таким образом, мы доказали, что угол АВС равен углу АХС.
