В трапеции ABCD, у которой AB = AD, проведена диагональ BD. Около образованного треугольника ABD описана окружность, причем сторона трапеции BC является касательной к ней.
а) Докажите, что треугольник BCD — равнобедренный.
б) Найдите отношение площади большего из образованных треугольников к площади меньшего, если косинус угла BAD равен 0,8.
а) Чтобы доказать, что треугольник BCD является равнобедренным, нам нужно показать, что сторона BC равна стороне CD.
Из условия задачи мы знаем, что сторона BC является касательной к окружности, описанной около треугольника ABD. Это означает, что угол BAC является прямым углом, так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Также, поскольку сторона AB равна стороне AD, угол ABD равен углу ADB (так как треугольник ABD равнобедренный).
Теперь рассмотрим треугольник BCD. У нас есть два равных угла: угол BCD и угол BDC (они равны углам ABD и ADB). Также, у нас есть две равные стороны: сторона BC (касательная к окружности) и сторона CD (диагональ трапеции). Поэтому треугольник BCD является равнобедренным.
б) Чтобы найти отношение площади большего из образованных треугольников к площади меньшего, нам нужно знать длины сторон этих треугольников.
Поскольку косинус угла BAD равен 0,8, мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти длину стороны BD.
В треугольнике ABD у нас есть сторона AB (равная стороне AD), сторона BD и угол BAD. Мы можем использовать теорему косинусов:
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(BAD)
Поскольку AB = AD, мы можем упростить это выражение:
BD^2 = 2 * AB^2 - 2 * AB^2 * cos(BAD)
BD^2 = 2 * AB^2 * (1 - cos(BAD))
BD = AB * sqrt(2 * (1 - cos(BAD)))
Теперь мы можем найти отношение площадей треугольников. Пусть S1 будет площадью треугольника ABD, а S2 - площадью треугольника BCD.
Отношение площадей будет равно отношению квадратов длин сторон:
S1 / S2 = (AB * AD) / (BC * CD)
Используя равенство сторон BC и CD (которые мы доказали в пункте а), получаем:
S1 / S2 = (AB * AD) / (BC * BC)
S1 / S2 = (AB * AD) / (AB * sqrt(2 * (1 - cos(BAD))))^2
S1 / S2 = 1 / (2 * (1 - cos(BAD)))
Подставляя значение косинуса угла BAD (0,8), мы можем вычислить это отношение площадей.