Пусть на множестве прямых задано отношение r = {(𝑎, 𝑏): 𝑎 ∥ 𝑏}. Определить свойства данного отношения. Является ли отношение отношением...
Условие:
Пусть на множестве прямых задано отношение r = {(𝑎, 𝑏): 𝑎 ∥ 𝑏}. Определить свойства данного отношения. Является ли отношение отношением эквивалентности или отношением частичного порядка?
Решение:
Отношение r = {(𝑎, 𝑏): 𝑎 ∥ 𝑏}, где 𝑎 ∥ 𝑏 означает, что прямые 𝑎 и 𝑏 параллельны, не является ни отношением эквивалентности, ни отношением частичного порядка.
Для того чтобы отношение было отношением эквивалентности, оно должно удовлетворять трем свойствам: рефлексивности, симметричности и транзитивности. В данном случае, отношение не является рефлексивным, так как прямая не параллельна сама себе. Также оно не является симметричным, так как если прямая 𝑎 параллельна прямой 𝑏, это не означает, что прямая 𝑏 параллельна прямой 𝑎. Наконец, отношение не является транзитивным, так как если прямая 𝑎 параллельна прямой 𝑏, и прямая 𝑏 параллельна прямой 𝑐, это не означает, что прямая 𝑎 параллельна прямой 𝑐.
Отношение частичного порядка должно удовлетворять трем свойствам: рефлексивности, антисимметричности и транзитивности. В данном случае, отношение не является рефлексивным, так как прямая не параллельна сама себе. Оно также не является антисимметричным, так как если прямая 𝑎 параллельна прямой 𝑏, это не означает, что прямая 𝑏 параллельна прямой 𝑎. Наконец, отношение не является транзитивным, так как если прямая 𝑎 параллельна прямой 𝑏, и прямая 𝑏 параллельна прямой 𝑐, это не означает, что прямая 𝑎 параллельна прямой 𝑐.
Таким образом, отношение r = {(𝑎, 𝑏): 𝑎 ∥ 𝑏} не является ни отношением эквивалентности, ни отношением частичного порядка.
