Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и DC в точках M и N соответственно. Известно, что AC = 1 5 , MN ...
Условие:
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и DC в точках M и N соответственно. Известно, что AC = 1 5 , MN = 3. Найдите отношение площадей треугольников S △ MBN : S △ ABC .
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать свойство параллельных линий, которое гласит, что отношение площадей двух треугольников, образованных параллельными линиями, равно отношению квадратов соответствующих сторон.
В данном случае, треугольники MBN и ABC образованы параллельными линиями MN и AC. Поэтому, отношение площадей треугольников S△MBN и S△ABC будет равно отношению квадратов соответствующих сторон.
Для начала, нам нужно найти соответствующие стороны треугольников MBN и ABC. Обозначим длину стороны AB как a, а длину стороны BC как b.
Так как прямая, параллельная стороне AC, пересекает сторону AB в точке M, то сторона MB будет равна AM. Аналогично, сторона BN будет равна CN.
Так как треугольник MBN подобен треугольнику ABC (по свойству параллельных линий), то отношение длин соответствующих сторон будет равно отношению длин MN и AC.
Таким образом, получаем:
MB/AB = MN/AC
MB/a = 3/15
MB = 3a/15
Аналогично, получаем:
BN/BC = MN/AC
BN/b = 3/15
BN = 3b/15
Теперь мы можем выразить площади треугольников S△MBN и S△ABC через соответствующие стороны:
S△MBN = (1/2) * MB * BN
S△ABC = (1/2) * AB * BC
Подставляя найденные значения сторон MB и BN, получаем:
S△MBN = (1/2) * (3a/15) * (3b/15) = (9/450) * ab
S△ABC = (1/2) * a * b = (1/2) * ab
Теперь мы можем найти отношение площадей треугольников:
S△MBN : S△ABC = (9/450) * ab : (1/2) * ab
Сокращаем общий множитель ab:
S△MBN : S△ABC = 9/450 : 1/2
Для удобства, можем записать это отношение в виде десятичной дроби:
S△MBN : S△ABC = 0.02 : 0.5
Упрощаем дробь:
S△MBN : S△ABC = 1 : 25
Таким образом, отношение площадей треугольников S△MBN и S△ABC равно 1 : 25.