По координатам точек A,B,C для указанных векторов найти: 1). a , b ; 2). a b ; 3). направляющие косинусы вектора a ; 4). cos(a b...
Условие:
По координатам точек A,B,C для указанных векторов найти: 1). a , b ; 2). a b ; 3). направляющие косинусы вектора a ; 4). cos(a b) ; 5). np c d ; 6). координаты точки M , делящей отрезок в отношении : . 3. (2,4,5); (1, 2,3); ( 1, 2,4); 3 4 ; ; ; d AB AB A
Решение:
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулы и определения из линейной алгебры.
-
Для нахождения векторов a и b, используем формулу разности координат: a = B - A = (1, 2, 3) - (2, 4, 5) = (-1, -2, -2) b = C - A = (1, 2, 4) - (2, 4, 5) = (-1, 0, -1)
-
Для нахождения скалярного произведения векторов a и b, используем формулу: a · b = (-1, -2, -2) · (-1, 0, -1) = (-1)(-1) + (-2)(0) + (-2)(-1) = 1 + 0 + 2 = 3
-
Для нахождения направляющих косинусов вектора a, используем формулы: cos α = a_x / |a| = -1 / √((-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2) = -1 / √9 = -1/3 cos β = a_y / |a| = -2 / √((-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2) = -2 / √9 = -2/3 cos γ = a_z / |a| = -2 / √((-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2) = -2 / √9 = -2/3
-
Для нахождения косинуса угла между векторами a и b, используем формулу: cos(a, b) = (a · b) / (|a| * |b|) = 3 / (√9 * √2) = 3 / (3 * √2) = 1 / √2 = √2 / 2
-
Для нахождения векторного произведения векторов a и b, используем формулу: a x b = (a_y * b_z - a_z * b_y, a_z * b_x - a_x * b_z, a_x * b_y - a_y * b_x) = (-2 * -1 - -2 * 0, -2 * 1 - -1 * -1, -1 * 0 - -2 * 1) = (-2, -1, -2)
-
Для нахождения координат точки M, делящей отрезок AB в отношении α:β, используем формулу: M = (β * A + α * B) / (α + β) = (3 * (2, 4, 5) + 4 * (1, 2, 3)) / (3 + 4) = (6, 12, 15 + 4, 8, 12) / 7 = (10/7, 20/7, 27/7)
Таким образом, получаем следующие результаты:
- a = (-1, -2, -2), b = (-1, 0, -1)
- a · b = 3
- cos α = -1/3, cos β = -2/3, cos γ = -2/3
- cos(a, b) = √2 / 2
- a x b = (-2, -1, -2)
- M = (10/7, 20/7, 27/7)
