Отношение Ѕ: «иметь в записи одинаковые цифры задано на множестве Х = 113; 53; 84; 133; 48; 99). Покажите, что Ѕотношение эквивалентности, и...
Условие:
Отношение Ѕ: «иметь в записи одинаковые цифры задано на множестве Х = 113; 53; 84; 133; 48; 99). Покажите, что Ѕотношение эквивалентности, и запишите все классы эквивалентности.
Решение:
Для того чтобы показать, что отношение Ѕ является отношением эквивалентности, необходимо проверить три свойства: рефлексивность, симметричность и транзитивность.
-
Рефлексивность: Для любого элемента x из множества Х, x Ѕ x должно быть истинным. В данном случае, мы должны проверить, что каждое число из множества Х имеет одинаковые цифры в записи. Например, число 113 имеет одинаковые цифры (1 и 1), поэтому оно удовлетворяет этому свойству. Аналогично, мы можем проверить, что все остальные числа из множества Х также удовлетворяют этому свойству.
-
Симметричность: Если x Ѕ y, то y Ѕ x должно быть истинным. В данном случае, мы должны проверить, что если два числа из множества Х имеют одинаковые цифры, то они взаимно связаны отношением Ѕ. Например, если число 113 имеет одинаковые цифры с числом 53, то число 53 также имеет одинаковые цифры с числом 113. Мы можем проверить это, сравнивая цифры в записи каждого числа.
-
Транзитивность: Если x Ѕ y и y Ѕ z, то x Ѕ z должно быть истинным. В данном случае, мы должны проверить, что если два числа из множества Х имеют одинаковые цифры, и второе число имеет одинаковые цифры с третьим числом, то первое число также имеет одинаковые цифры с третьим числом. Например, если число 113 имеет одинаковые цифры с числом 53, и число 53 имеет одинаковые цифры с числом 84, то число 113 также имеет одинаковые цифры с числом 84. Мы можем проверить это, сравнивая цифры в записи каждого числа.
Таким образом, мы убедились, что отношение Ѕ является отношением эквивалентности.
Теперь давайте запишем все классы эквивалентности для отношения Ѕ. Класс эквивалентности для элемента x - это множество всех элементов y, таких что x Ѕ y. В данном случае, класс эквивалентности для каждого числа из множества Х будет содержать все числа из Х, которые имеют одинаковые цифры в записи.
Класс эквивалентности для числа 113: {113, 133} Класс эквивалентности для числа 53: {53} Класс эквивалентности для числа 84: {84} Класс эквивалентности для числа 133: {113, 133} Класс эквивалентности для числа 48: {48} Класс эквивалентности для числа 99: {99}
Таким образом, все классы эквивалентности для отношения Ѕ на множестве Х = {113, 53, 84, 133, 48, 99} записываются следующим образом: {113, 133}, {53}, {84}, {48}, {99}.
