Не используя производящие функции, найди общее и частное решение для рекуррентного отношения a(n)=-4a(n-1)-2a(n-2) +5
Условие:
Не используя производящие функции, найди общее и частное решение для рекуррентного отношения a(n)=-4a(n-1)-2a(n-2) +5
Решение:
Для решения данного рекуррентного отношения, мы можем использовать метод характеристического уравнения. Предположим, что общее решение имеет вид a(n) = r^n, где r - неизвестная константа.
Подставим это предположение в рекуррентное отношение: r^n = -4r^(n-1) - 2r^(n-2) + 5
Перенесем все члены в левую часть уравнения: r^n + 4r^(n-1) + 2r^(n-2) - 5 = 0
Теперь мы можем преобразовать это уравнение, разделив его на r^(n-2): r^2 + 4r + 2 - 5/r^2 = 0
Умножим обе части уравнения на r^2, чтобы избавиться от дроби: r^4 + 4r^3 + 2r^2 - 5 = 0
Теперь мы получили квадратное уравнение относительно r^2. Решим его с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.
r^2 + 4r + 2 - 5 = 0
r^2 + 4r - 3 = 0
(r + 3)(r - 1) = 0
Таким образом, получаем два значения r: r1 = -3 и r2 = 1.
Теперь мы можем записать общее решение в виде: a(n) = c1 * (-3)^n + c2 * 1^n
где c1 и c2 - произвольные константы, которые могут быть определены из начальных условий или дополнительных ограничений.
Чтобы найти частное решение, нам нужно знать начальные условия или дополнительные ограничения. Если у нас есть начальные условия, мы можем использовать их, чтобы определить значения констант c1 и c2 и получить конкретное решение.
