Написать исследование функции на 8 пунктов и начертить чертëж Y=((x+1)/(x-1))^2
Условие:
Написать исследование функции на 8 пунктов и начертить чертëж Y=((x+1)/(x-1))^2
Решение:
Исследование функции Y=((x+1)/(x-1))^2:
-
Определение области определения функции: Функция Y=((x+1)/(x-1))^2 определена для всех значений x, кроме x=1, так как в этом случае знаменатель равен нулю.
-
Нахождение точек пересечения с осями координат: Для нахождения точек пересечения с осью OX, приравняем Y к нулю: ((x+1)/(x-1))^2 = 0 Так как квадрат никогда не может быть равен нулю, то данная функция не имеет точек пересечения с осью OX. Для нахождения точек пересечения с осью OY, подставим x=0: Y = ((0+1)/(0-1))^2 = 1
-
Анализ поведения функции при x→±∞: При x→±∞, функция стремится к 1, так как числитель и знаменатель функции стремятся к бесконечности, и их отношение будет равно 1.
-
Нахождение асимптот: Горизонтальная асимптота: При x→±∞, функция стремится к 1, поэтому y=1 является горизонтальной асимптотой. Вертикальная асимптота: При x=1, функция не определена, поэтому x=1 является вертикальной асимптотой.
-
Исследование на четность/нечетность функции: Подставим -x вместо x в функцию и сравним с исходной функцией: Y((-x+1)/(-x-1))^2 = ((-x+1)/(-x-1))^2 = ((x-1)/(x+1))^2 = Y Функция является четной, так как Y равно исходной функции.
-
Нахождение точек экстремума: Для нахождения точек экстремума найдем производную функции и приравняем ее к нулю: Y' = 2((x+1)/(x-1)) * ((-1)/(x-1))^2 = 2(x+1)/(x-1)^3 2(x+1)/(x-1)^3 = 0 x+1 = 0 x = -1 Точка экстремума: (-1, 1)
-
Исследование на монотонность функции: Для исследования на монотонность найдем производную функции и проанализируем ее знаки: Y' = 2(x+1)/(x-1)^3 При x < -1, Y' < 0, значит функция убывает на интервале (-∞, -1). При -1 < x < 1, Y' > 0, значит функция возрастает на интервале (-1, 1). При x > 1, Y' < 0, значит функция убывает на интервале (1, +∞).
-
Начертание чертежа функции: Для начертания чертежа функции Y=((x+1)/(x-1))^2, используем полученные результаты:
- Функция не имеет точек пересечения с осью OX.
- Точка пересечения с осью OY: (0, 1).
- Горизонтальная асимптота: y=1.
- Вертикальная асимптота: x=1.
- Точка экстремума: (-1, 1).
- Функция убывает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и возрастает на интервале (-1, 1).
Чертеж функции будет выглядеть следующим образом:
(здесь должен быть чертеж функции)
