Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей около треугольника АВС, если АВ:ВС:АС=5:4:3 и периметр треугольника равен 144 см
Условие:
Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей около треугольника АВС, если АВ:ВС:АС=5:4:3 и периметр треугольника равен 144 см
Решение:
Чтобы найти радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, нам понадобится использовать формулы, связанные с радиусами окружностей и сторонами треугольника.
Пусть стороны треугольника АВС равны a, b и c, а радиусы вписанной и описанной окружностей равны r и R соответственно.
Известно, что периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
a + b + c = 144 см
Также известно, что отношение сторон треугольника АВС равно 5:4:3:
a:b:c = 5:4:3
Мы можем использовать эти данные, чтобы найти значения сторон треугольника.
Первым шагом найдем значение переменной k, которая будет множителем для отношения сторон:
k = a / 5 = b / 4 = c / 3
Теперь мы можем выразить значения сторон через k:
a = 5k b = 4k c = 3k
Подставим эти значения в уравнение периметра:
5k + 4k + 3k = 144
12k = 144
k = 12
Теперь мы можем найти значения сторон треугольника:
a = 5 * 12 = 60 см b = 4 * 12 = 48 см c = 3 * 12 = 36 см
Теперь перейдем к нахождению радиусов окружностей.
Радиус вписанной окружности (r) можно найти с помощью формулы:
r = sqrt((p - a)(p - b)(p - c) / p),
где p - полупериметр треугольника, равный половине суммы его сторон:
p = (a + b + c) / 2
Подставим значения сторон в формулу:
p = (60 + 48 + 36) / 2 = 72 см
r = sqrt((72 - 60)(72 - 48)(72 - 36) / 72) = sqrt(12 * 24 * 36 / 72) = sqrt(12 * 24 / 2) = sqrt(12 * 12) = 12 см
Таким образом, радиус вписанной окружности равен 12 см.
Радиус описанной окружности (R) можно найти с помощью формулы:
R = a * b * c / (4 * S),
где S - площадь треугольника, которую можно найти с помощью формулы Герона:
S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
Подставим значения сторон в формулу:
S = sqrt(72 * (72 - 60) * (72 - 48) * (72 - 36)) = sqrt(72 * 12 * 24 * 36) = sqrt(12 * 12 * 12 * 12) = 12 * 12 = 144 см^2
R = 60 * 48 * 36 / (4 * 144) = 1080 / 4 = 270 см
Таким образом, радиус описанной окружности равен 270 см.
Итак, радиус вписанной окружности равен 12 см, а радиус описанной окружности равен 270 см.
