\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x^{3}-2 x^{2}+x}{3 x^{2}+2 x} \)
Условие:
Решение:
Для нахождения предела данной функции при (x \rightarrow 0), мы можем применить правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что если предел функции (f(x)) при (x \rightarrow a) и предел функции (g(x)) при (x \rightarrow a) равны нулю или бесконечности, и предел их производных (\frac{f'(x)}{g'(x)}) существует, то предел отношения (\frac{f(x)}{g(x)}) равен пределу (\frac{f'(x)}{g'(x)}).
Применим это правило к данной функции. Найдем производные функций (f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x) и (g(x) = 3x^2 + 2x):
(f'(x) = 12x^2 - 4x + 1) (g'(x) = 6x + 2)
Теперь найдем предел отношения производных при (x \rightarrow 0):
(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{12x^2 - 4x + 1}{6x + 2})
Подставим (x = 0) в числитель и знаменатель:
(\frac{12(0)^2 - 4(0) + 1}{6(0) + 2} = \frac{1}{2})
Таким образом, предел отношения производных равен (\frac{1}{2}).
Исходя из правила Лопиталя, предел исходной функции равен пределу отношения производных:
(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x^3 - 2x^2 + x}{3x^2 + 2x} = \frac{1}{2})
Таким образом, предел данной функции при (x \rightarrow 0) равен (\frac{1}{2}).
