Исследуйте сходимость знакоположительных рядов ((n!)^2)/2^(n^2)
Условие:
Исследуйте сходимость знакоположительных рядов ((n!)^2)/2^(n^2)
Решение:
Для исследования сходимости данного ряда, мы можем воспользоваться признаком Даламбера. Пусть дан ряд ∑((n!)^2)/2^(n^2).
Применим признак Даламбера, который гласит: если предел отношения абсолютных членов ряда равен L, и L < 1, то ряд сходится; если L > 1, то ряд расходится; если L = 1, то признак не дает определенного результата.
Для нашего ряда, возьмем отношение абсолютных членов: ((n+1)!)^2 / 2^((n+1)^2) * 2^(n^2) / (n!)^2
Упростим это выражение: ((n+1)!)^2 / (n!)^2 * 2^(n^2) / 2^((n+1)^2) ((n+1)!)^2 / (n!)^2 * 2^(n^2) / 2^(n^2 + 2n + 1) ((n+1)!)^2 / (n!)^2 * 2^(-2n - 1)
Заметим, что (n+1)! / n! = n+1, поэтому: ((n+1)!)^2 / (n!)^2 = (n+1)^2
Подставим это обратно в выражение: (n+1)^2 * 2^(-2n - 1)
Упростим еще раз: (n+1)^2 / 2^(2n + 1)
Теперь рассмотрим предел этого выражения при n стремящемся к бесконечности: lim(n->∞) (n+1)^2 / 2^(2n + 1)
Мы можем применить правило Лопиталя для вычисления этого предела: lim(n->∞) 2(n+1) / 2^(2n + 1) * ln(2)
Упростим еще раз: lim(n->∞) (n+1) / 2^n * ln(2)
Теперь рассмотрим предел этого выражения при n стремящемся к бесконечности: lim(n->∞) (n+1) / 2^n * ln(2) = 0
Таким образом, предел отношения абсолютных членов ряда равен 0. Поскольку 0 < 1, мы можем заключить, что данный ряд сходится.
Таким образом, знакоположительный ряд ∑((n!)^2)/2^(n^2) сходится.
