Ядро N1, движущееся с импульсом po, упруго сталкивается с неподвижным ядром №2 и отклоняется от направления своего первоначального движения ...
Условие:
Ядро N1, движущееся с импульсом po, упруго сталкивается с неподвижным ядром №2 и отклоняется от направления своего первоначального движения на угол 2 = 30º. Отношение
масс ядер n = mı/m2=4/3. Найдите отношение x = (p1-p1')/po, где 21 и 21¹ - возможные значения импульса отклонившегося ядра N1, совместимые с законами сохранения импульса и энергии (
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.
Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов до и после столкновения должна быть одинаковой. Мы можем записать это следующим образом:
p0 = p1 + p2,
где p0 - импульс ядра N1 до столкновения, p1 - импульс ядра N1 после столкновения, p2 - импульс ядра N2 после столкновения.
Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетических энергий до и после столкновения должна быть одинаковой. Мы можем записать это следующим образом:
(1/2)m1v0^2 = (1/2)m1v1^2 + (1/2)m2v2^2,
где m1 и m2 - массы ядер N1 и N2 соответственно, v0 - скорость ядра N1 до столкновения, v1 - скорость ядра N1 после столкновения, v2 - скорость ядра N2 после столкновения.
Мы также знаем, что отношение масс ядер n = m1/m2 = 4/3.
Теперь мы можем решить систему уравнений, используя эти законы сохранения.
Из закона сохранения импульса:
po = p1 + p2.
Из закона сохранения энергии:
(1/2)m1v0^2 = (1/2)m1v1^2 + (1/2)m2v2^2.
Мы также знаем, что угол отклонения равен 30º, поэтому мы можем использовать соотношение между скоростями и углами:
v1 = v0*cos(θ),
где θ - угол отклонения.
Теперь мы можем подставить это в уравнение сохранения энергии:
(1/2)m1v0^2 = (1/2)m1(v0*cos(θ))^2 + (1/2)m2v2^2.
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
m1v0^2 = m1v0^2*cos^2(θ) + m2v2^2.
Теперь мы можем выразить v2 через v0 и cos(θ):
v2^2 = (m1/m2)*(1 - cos^2(θ))*v0^2.
Подставляя значение отношения масс n = m1/m2 = 4/3 и угла отклонения θ = 30º, получаем:
v2^2 = (4/3)*(1 - cos^2(30º))*v0^2.
v2^2 = (4/3)*(1 - (sqrt(3)/2)^2)*v0^2.
v2^2 = (4/3)*(1 - 3/4)*v0^2.
v2^2 = (4/3)*(1/4)*v0^2.
v2^2 = (1/3)*v0^2.
Теперь мы можем выразить отношение x = (p1 - p1')/po через импульсы:
x = (p1 - p1')/po = (m1v1 - m1v1')/po.
Мы можем выразить v1' через v2 и v0:
v1' = v0 - v2.
Подставляя значения v2 и v1' в формулу для x, получаем:
x = (m1v1 - m1(v0 - v2))/po.
x = (m1v1 - m1v0 + m1v2)/po.
Теперь мы можем выразить v1 через v0 и cos(θ):
v1 = v0*cos(θ).
Подставляя значения v1 и v2 в формулу для x, получаем:
x = (m1(v0*cos(θ)) - m1v0 + m1v2)/po.
x = (m1v0*cos(θ) - m1v0 + m1v2)/po.
Теперь мы можем выразить v2 через v0 и cos(θ):
v2 = sqrt((1/3)*v0^2).
Подставляя значения v2 в формулу для x, получаем:
x = (m1v0cos(θ) - m1v0 + m1sqrt((1/3)*v0^2))/po.
Теперь мы можем подставить значение отношения масс n = m1/m2 = 4/3 и угла отклонения θ = 30º:
x = ((4/3)m2v0*cos(30º) - (4/3)m2v0 + (4/3)m2sqrt((1/3)*v0^2))/po.
x = ((4/3)m2v0*(sqrt(3)/2) - (4/3)m2v0 + (4/3)m2sqrt((1/3)*v0^2))/po.
x = ((2/3)m2v0*sqrt(3) - (4/3)m2v0 + (4/3)m2sqrt((1/3)*v0^2))/po.
Таким образом, отношение x = (p1 - p1')/po равно ((2/3)m2v0*sqrt(3) - (4/3)m2v0 + (4/3)m2sqrt((1/3)*v0^2))/po.
