f(x) = 5x^3 + 7x^4 - 10x^11 g(x) = 8x^4 - 11x^7 + 30x^33 Отметьте все верные утверждения: f(x) ~ g(x) в точке +бесконечность f(x) ~ g(x) в...
Условие:
f(x) = 5x^3 + 7x^4 - 10x^11 g(x) = 8x^4 - 11x^7 + 30x^33
Отметьте все верные утверждения:
f(x) ~ g(x) в точке +бесконечность f(x) ~ g(x) в точке 0 g(x) = o(f(x)) в точке 0 g(x) = o(f(x)) в точке +бесконечность f(x) = o(g(x)) в точке 0 f(x) = o(g(x)) в точке +бесконечность
Решение:
Для проверки утверждений о приближении функций воспользуемся понятием предела функции при x стремящемся к бесконечности и при x стремящемся к нулю.
-
f(x) ~ g(x) в точке +бесконечность: Для проверки этого утверждения нужно вычислить предел отношения f(x) к g(x) при x стремящемся к бесконечности. Если предел равен 1, то функции приближаются друг к другу. lim(x->∞) f(x)/g(x) = lim(x->∞) (5x^3 + 7x^4 - 10x^11) / (8x^4 - 11x^7 + 30x^33) После вычислений получаем, что предел равен 0, а не 1. Значит, утверждение неверно.
-
f(x) ~ g(x) в точке 0: Аналогично, нужно вычислить предел отношения f(x) к g(x) при x стремящемся к 0. lim(x->0) f(x)/g(x) = lim(x->0) (5x^3 + 7x^4 - 10x^11) / (8x^4 - 11x^7 + 30x^33) После вычислений получаем, что предел равен 0, а не 1. Значит, утверждение неверно.
-
g(x) = o(f(x)) в точке 0: Это утверждение означает, что отношение g(x) к f(x) стремится к 0 при x стремящемся к 0. lim(x->0) g(x)/f(x) = lim(x->0) (8x^4 - 11x^7 + 30x^33) / (5x^3 + 7x^4 - 10x^11) После вычислений получаем, что предел равен 0. Значит, утверждение верно.
-
g(x) = o(f(x)) в точке +бесконечность: Аналогично, нужно вычислить предел отношения g(x) к f(x) при x стремящемся к бесконечности. lim(x->∞) g(x)/f(x) = lim(x->∞) (8x^4 - 11x^7 + 30x^33) / (5x^3 + 7x^4 - 10x^11) После вычислений получаем, что предел равен 0. Значит, утверждение верно.
-
f(x) = o(g(x)) в точке 0: Это утверждение означает, что отношение f(x) к g(x) стремится к 0 при x стремящемся к 0. lim(x->0) f(x)/g(x) = lim(x->0) (5x^3 + 7x^4 - 10x^11) / (8x^4 - 11x^7 + 30x^33) После вычислений получаем, что предел равен 0. Значит, утверждение верно.
-
f(x) = o(g(x)) в точке +бесконечность: Аналогично, нужно вычислить предел отношения f(x) к g(x) при x стремящемся к бесконечности. lim(x->∞) f(x)/g(x) = lim(x->∞) (5x^3 + 7x^4 - 10x^11) / (8x^4 - 11x^7 + 30x^33) После вычислений получаем, что предел равен 0. Значит, утверждение верно.
Итак, верны утверждения:
- g(x) = o(f(x)) в точке 0
- g(x) = o(f(x)) в точке +бесконечность
- f(x) = o(g(x)) в точке 0
- f(x) = o(g(x)) в точке +бесконечность
