Два положительных точечных заряда Q и 4Q закреплены на расстоянии / = 60 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей ч...
Условие:
Два положительных точечных заряда Q и 4Q закреплены на расстоянии / = 60 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд Q1 так, чтобы он находился в равновесии. Ука-зать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения заряда возможны тол
Решение:
Для определения точки равновесия третьего заряда Q1 на прямой, проходящей через заряды Q и 4Q, можно использовать принцип равенства сил.
Пусть расстояние от заряда Q до точки равновесия x, а расстояние от заряда 4Q до точки равновесия (60 - x), где 60 см - расстояние между зарядами Q и 4Q.
Сила притяжения между зарядами Q и Q1 равна F1 = k * (Q * Q1) / x^2, где k - постоянная Кулона.
Сила притяжения между зарядами 4Q и Q1 равна F2 = k * (4Q * Q1) / (60 - x)^2.
Для того, чтобы равновесие было устойчивым, третий заряд Q1 должен быть помещен между зарядами Q и 4Q. Это означает, что суммарная сила, действующая на Q1, должна быть направлена к точке равновесия.
Суммарная сила равна F = F1 - F2.
Так как F должна быть направлена к точке равновесия, то F > 0.
Подставим значения F1 и F2 и уравняем их:
k * (Q * Q1) / x^2 - k * (4Q * Q1) / (60 - x)^2 > 0.
Упростим это выражение:
(Q * Q1) / x^2 - (4Q * Q1) / (60 - x)^2 > 0.
Домножим обе части неравенства на x^2 * (60 - x)^2:
(Q * Q1) * (60 - x)^2 - (4Q * Q1) * x^2 > 0.
Раскроем скобки:
(Q * Q1) * (3600 - 120x + x^2) - (4Q * Q1) * x^2 > 0.
Раскроем скобки и упростим выражение:
3600 * (Q * Q1) - 120 * (Q * Q1) * x + (Q * Q1) * x^2 - 4 * (Q * Q1) * x^2 > 0.
Упростим еще больше:
3600 * (Q * Q1) - 120 * (Q * Q1) * x - 3 * (Q * Q1) * x^2 > 0.
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
3 * (Q * Q1) * x^2 + 120 * (Q * Q1) * x - 3600 * (Q * Q1) < 0.
Решим это уравнение:
x^2 + 40 * x - 1200 < 0.
Найдем корни этого уравнения:
x1 = (-40 + sqrt(40^2 - 4 * 1 * (-1200))) / (2 * 1) ≈ -34.64, x2 = (-40 - sqrt(40^2 - 4 * 1 * (-1200))) / (2 * 1) ≈ 14.64.
Так как x должно быть положительным, то точка равновесия находится на расстоянии x2 ≈ 14.64 см от заряда Q.
Чтобы равновесие было устойчивым, третий заряд Q1 должен иметь противоположный знак по отношению к зарядам Q и 4Q. Если заряды Q и 4Q положительные, то заряд Q1 должен быть отрицательным, чтобы равновесие было устойчивым.
