Диаметр окружности пересекает хорду в точке Е и делится на отрезки в отношении 2:9. Найдите радиус окружности, если отрезки хорды равны 6 см...
Условие:
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать теорему о перпендикулярных хордах. Согласно этой теореме, произведение длин отрезков хорды равно произведению расстояний от центра окружности до хорды.
Пусть радиус окружности равен r. Тогда, согласно условию задачи, отрезки хорды равны 6 см и 3 см.
По теореме о перпендикулярных хордах, имеем:
6 * 3 = (r - x) * (r + x),
где x - расстояние от центра окружности до хорды.
Раскрывая скобки, получаем:
18 = r^2 - x^2.
Также, согласно условию задачи, отношение длин отрезков хорды равно 2:9. Это означает, что:
6 / 3 = (r - x) / (r + x).
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
2 = (r - x) / (r + x).
Умножаем обе части уравнения на (r + x), получаем:
2(r + x) = r - x.
Раскрывая скобки, получаем:
2r + 2x = r - x.
Упрощаем:
r = -3x.
Теперь мы имеем систему уравнений:
18 = r^2 - x^2, r = -3x.
Подставляем второе уравнение в первое:
18 = (-3x)^2 - x^2.
Раскрываем скобки:
18 = 9x^2 - x^2.
Упрощаем:
18 = 8x^2.
Делим обе части уравнения на 8:
2.25 = x^2.
Извлекаем квадратный корень:
x = ±1.5.
Так как расстояние не может быть отрицательным, выбираем положительное значение:
x = 1.5.
Теперь можем найти радиус окружности, используя второе уравнение:
r = -3x = -3 * 1.5 = -4.5.
Однако, радиус окружности не может быть отрицательным, поэтому отбрасываем отрицательное значение и получаем:
r = 4.5 см.
Таким образом, радиус окружности равен 4.5 см.