Дано бинарное отношение R={(a,b) | a=4b} на множестве A={1,2,3,4,6}. Определить является ли оно рефлексивным, симметричным, транзитивным
Условие:
Дано бинарное отношение R={(a,b) | a=4b} на множестве A={1,2,3,4,6}. Определить является ли оно рефлексивным, симметричным, транзитивным
Решение:
Для определения свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности бинарного отношения R={(a,b) | a=4b} на множестве A={1,2,3,4,6}, нужно проверить выполнение соответствующих условий.
- Рефлексивность: Бинарное отношение R на множестве A является рефлексивным, если для каждого элемента a из A выполняется условие (a,a) ∈ R.
В данном случае, чтобы проверить рефлексивность, нужно проверить, выполняется ли условие (a,a) ∈ R для всех элементов a из A={1,2,3,4,6}.
Подставим каждый элемент из A в условие a=4b: 1=41, 2=40.5, 3=40.75, 4=41, 6=4*1.5.
Мы видим, что для некоторых элементов из A условие выполняется (например, для 1 и 4), а для других - нет (например, для 2, 3 и 6). Таким образом, бинарное отношение R не является рефлексивным.
- Симметричность: Бинарное отношение R на множестве A является симметричным, если для каждой пары элементов (a,b) из A выполняется условие (a,b) ∈ R, тогда и только тогда, когда (b,a) ∈ R.
В данном случае, чтобы проверить симметричность, нужно проверить, выполняется ли условие (a,b) ∈ R, тогда и только тогда, когда (b,a) ∈ R для всех пар элементов (a,b) из A.
Подставим каждую пару элементов из A в условие a=4b: (1,1): 1=41, 1=40.25 - не выполняется. (1,2): 1=42, 2=40.5 - не выполняется. (1,3): 1=43, 3=40.75 - не выполняется. (1,4): 1=44, 4=41 - выполняется. (1,6): 1=46, 6=41.5 - не выполняется. (2,1): 2=41, 1=40.25 - не выполняется. (2,2): 2=42, 2=40.5 - не выполняется. (2,3): 2=43, 3=40.75 - не выполняется. (2,4): 2=44, 4=41 - не выполняется. (2,6): 2=46, 6=41.5 - не выполняется. (3,1): 3=41, 1=40.25 - не выполняется. (3,2): 3=42, 2=40.5 - не выполняется. (3,3): 3=43, 3=40.75 - не выполняется. (3,4): 3=44, 4=41 - не выполняется. (3,6): 3=46, 6=41.5 - не выполняется. (4,1): 4=41, 1=40.25 - не выполняется. (4,2): 4=42, 2=40.5 - не выполняется. (4,3): 4=43, 3=40.75 - не выполняется. (4,4): 4=44, 4=41 - выполняется. (4,6): 4=46, 6=41.5 - не выполняется. (6,1): 6=41, 1=40.25 - не выполняется. (6,2): 6=42, 2=40.5 - не выполняется. (6,3): 6=43, 3=40.75 - не выполняется. (6,4): 6=44, 4=41 - не выполняется. (6,6): 6=46, 6=41.5 - не выполняется.
Мы видим, что для некоторых пар элементов из A условие выполняется (например, для (1,4) и (4,1)), а для других - нет. Таким образом, бинарное отношение R не является симметричным.
- Транзитивность: Бинарное отношение R на множестве A является транзитивным, если для каждых трех элементов a, b, c из A выполняется условие, что если (a,b) ∈ R и (b,c) ∈ R, то (a,c) ∈ R.
В данном случае, чтобы проверить транзитивность, нужно проверить, выполняется ли условие, что если (a,b) ∈ R и (b,c) ∈ R, то (a,c) ∈ R для всех трех элементов a, b, c из A.
Подставим каждую тройку элементов из A в условие a=4b и b=4c: (1,1,1): 1=41, 1=40.25, 1=40.0625 - не выполняется. (1,1,2): 1=41, 1=40.25, 2=40.5 - не выполняется. (1,1,3): 1=41, 1=40.25, 3=40.75 - не выполняется. (1,1,4): 1=41, 1=40.25, 4=41 - не выполняется. (1,1,6): 1=41, 1=40.25, 6=41.5 - не выполняется. (1,2,1): 1=42, 2=40.5, 1=40.25 - не выполняется. (1,2,2): 1=42, 2=40.5, 2=40.5 - не выполняется. (1,2,3): 1=42, 2=40.5, 3=40.75 - не выполняется. (1,2,4): 1=42, 2=40.5, 4=41 - не выполняется. (1,2,6): 1=42, 2=40.5, 6=41.5 - не выполняется. (1,3,1): 1=43, 3=40.75, 1=40.25 - не выполняется. (1,3,2): 1=43, 3=40.75, 2=40.5 - не выполняется. (1,3,3): 1=43, 3=40.75, 3=40.75 - не выполняется. (1,3,4): 1=43, 3=40.75, 4=41 - не выполняется. (1,3,6): 1=43, 3=40.75, 6=41.5 - не выполняется. (1,4,1): 1=44, 4=41, 1=40.25 - не выполняется. (1,4,2): 1=44, 4=41, 2=40.5 - не выполняется. (1,4,3): 1=44, 4=41, 3=40.75 - не выполняется. (1,4,4): 1=44, 4=41, 4=41 - не выполняется. (1,4,6): 1=44, 4=41, 6=41.5 - не выполняется. (1,6,1): 1=46, 6=41.5, 1=40.25 - не выполняется. (1,6,2): 1=46, 6=41.5, 2=40.5 - не выполняется. (1,6,3): 1=46, 6=41.5, 3=40.75 - не выполняется. (1,6,4): 1=46, 6=41.5, 4=41 - не выполняется. (1,6,6): 1=46, 6=41.5, 6=41.5 - не выполняется. (2,1,1): 2=41, 1=40.25, 1=40.25 - не выполняется. (2,1,2): 2=41, 1=40.25, 2=40.5 - не выполняется. (2,1,3): 2=41, 1=40.25, 3=40.75 - не выполняется. (2,1,4): 2=41, 1=40.25, 4=41 - не выполняется. (2,1,6): 2=41, 1=40.25, 6=41.5 - не выполняется. (2,2,1): 2=42, 2=40.5, 1=40.25 - не выполняется. (2,2,2): 2=42, 2=40.5, 2=40.5 - не выполняется. (2,2,3): 2=42, 2=40.5, 3=40.75 - не выполняется. (2,2,4): 2=42, 2=40.5, 4=41 - не выполняется. (2,2,6): 2=42, 2=40.5, 6=41.5 - не выполняется. (2,3,1): 2=43, 3=40.75, 1=40.25 - не выполняется. (2,3,2): 2=43, 3=40.75, 2=40.5 - не выполняется. (2,3,3): 2=43, 3=40.75, 3=40.75 - не выполняется. (2,3,4): 2=43, 3=40.75, 4=41 - не выполняется. (2,3,6): 2=43, 3=40.75, 6=41.5 - не выполняется. (2,4,1): 2=44, 4=41, 1=40.25 - не выполняется. (2,4,2): 2=44, 4=41, 2=40.5 - не выполняется. (2,4,3): 2=44, 4=41, 3=40.75 - не выполняется. (2,4,4): 2=44, 4=41, 4=41 - не выполняется. (2,4,6): 2=44, 4=41, 6=41.5 - не выполняется. (2,6,1): 2=46, 6=41.5, 1=40.25 - не выполняется. (2,6,2): 2=46, 6=41.5, 2=40.5 - не выполняется. (2,6,3): 2=46, 6=41.5, 3=40.75 - не выполняется. (2,6,4): 2=46, 6=41.5, 4=41 - не выполняется. (2,6,6): 2=46, 6=41.5, 6=41.5 - не выполняется. (3,1,1): 3=41, 1=40.25, 1=40.25 - не выполняется. (3,1,2): 3=41, 1=40.25, 2=40.5 - не выполняется. (3,1,3): 3=41, 1=40.25, 3=40.75 - не выполняется. (3,1,4): 3=41, 1=40.25, 4=41 - не выполняется. (3,1,6): 3=41, 1=40.25, 6=41.5 - не выполняется. (3,2,1): 3=42, 2=40.5, 1=40.25 - не выполняется. (3,2,2): 3=42, 2=40.5, 2=40.5 - не выполняется. (3,2,3): 3=42, 2=40.5, 3=40.75 - не выполняется. (3,2,4): 3=42, 2=40.5, 4=41 - не выполняется. (3,2,6): 3=42, 2=40.5, 6=41.5 - не выполняется. (3,3,1): 3=43, 3=40.75
