Дана правильная треугольная пирамида SABC, в которой сторона основания равна 10, а боковое ребро равно 13. На ребрах ВС и AS отмечены точки ...
Условие:
Дана правильная треугольная пирамида SABC, в которой сторона основания равна 10, а боковое ребро равно 13. На ребрах ВС и AS отмечены точки М и N так, что ВМ:МС = SN:NA = 1:3. Плоскость α содержит прямую MN и параллельна прямой АС.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SB.
б) Найдите величину угла между плоскостями α и SCA.
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольной пирамиды и прямой параллельности.
а) Для доказательства параллельности плоскости α и прямой SB, нам нужно показать, что прямая SB перпендикулярна к плоскости α.
Рассмотрим треугольник SAB. Так как треугольник SAB является прямоугольным, то прямая SB является высотой этого треугольника.
Также, по условию, на ребре AS отмечена точка N так, что SN:NA = 1:3. Это означает, что точка N делит ребро AS на отрезки AN и NS в отношении 1:3.
Так как треугольник SAB является прямоугольным, то точка N также является высотой этого треугольника.
Таким образом, прямая SB и прямая MN являются высотами треугольника SAB и перпендикулярны к плоскости основания треугольной пирамиды SABC.
Так как прямая MN лежит в плоскости α, то прямая SB также перпендикулярна к плоскости α. Следовательно, плоскость α параллельна прямой SB.
б) Чтобы найти величину угла между плоскостями α и SCA, нам нужно найти угол между прямой SB и плоскостью SCA.
Рассмотрим треугольник SCA. Так как треугольник SCA является прямоугольным, то прямая SB является высотой этого треугольника.
Также, по условию, на ребре AS отмечена точка N так, что SN:NA = 1:3. Это означает, что точка N делит ребро AS на отрезки AN и NS в отношении 1:3.
Так как треугольник SCA является прямоугольным, то точка N также является высотой этого треугольника.
Таким образом, прямая SB и прямая MN являются высотами треугольника SCA и образуют угол между собой.
Используя геометрические свойства, можно сказать, что угол между прямой SB и плоскостью SCA равен прямому углу, то есть 90 градусов.
Следовательно, величина угла между плоскостями α и SCA также равна 90 градусов.
