Оператор Гамильтона частицы с массой m имеет вид: H=(p^2/(2*m))-b(t)*r. Установить, какие из ниже перечисленных физических величин сохраняют...
Условие:
Оператор Гамильтона частицы с массой m имеет вид: H=(p^2/(2m))-b(t)r. Установить, какие из ниже перечисленных физических величин сохраняются l=(l_1, l_2, l_3), pb(t), H, lb(t)? Здесь b(t) заданная функция времени. Для вычислений можно использовать коммутационные соотношения Гейзенберга.
Решение:
Для определения, какие из перечисленных физических величин сохраняются, мы должны проверить, коммутируют ли они с оператором Гамильтона H. Если оператор A коммутирует с оператором H, то это означает, что A является сохраняющейся величиной.
Давайте начнем с оператора момента импульса l=(l_1, l_2, l_3). Оператор момента импульса определяется как l = r x p, где r и p - операторы радиус-вектора и импульса соответственно. Проверим коммутационные соотношения между l и H:
[l_i, H] = [r_i x p, H] = [r_i x p, (p^2/(2*m))-b(t)*r]
Используя коммутационные соотношения Гейзенберга [r_i, p_j] = ihbardelta_ij, где delta_ij - символ Кронекера, получаем:
[l_i, H] = [r_i x p, (p^2/(2*m))] - [r_i x p, b(t)*r]
Теперь мы можем использовать свойство векторного произведения, чтобы раскрыть скобки:
[l_i, H] = [r_i, (p^2/(2*m))] x p - r_i x [p, b(t)*r]
[l_i, H] = (1/(2*m)) [r_i, p^2] x p - r_i x [p, b(t)*r]
[l_i, H] = (1/(2*m)) [r_i, p] x [p, p] x p - r_i x [p, b(t)*r]
[l_i, H] = (1/(2*m)) [r_i, p] x 0 x p - r_i x [p, b(t)*r]
[l_i, H] = - r_i x [p, b(t)*r]
[l_i, H] = - r_i x (b(t)*[p, r] + [p, b(t)]*r)
[l_i, H] = - r_i x (b(t)ihbar - b(t)ihbar)
[l_i, H] = 0
Таким образом, оператор момента импульса l является сохраняющейся величиной.
Теперь рассмотрим оператор p*b(t). Проверим его коммутацию с H:
[pb(t), H] = [pb(t), (p^2/(2*m))-b(t)*r]
[pb(t), H] = [pb(t), (p^2/(2m))] - [pb(t), b(t)*r]
[pb(t), H] = b(t)[p, (p^2/(2m))] - b(t)[p, b(t)*r]
[pb(t), H] = b(t)[p, p^2] - b(t)*[p, b(t)*r]
[pb(t), H] = b(t)[p, p] x p - b(t)*[p, b(t)*r]
[p*b(t), H] = b(t)0 x p - b(t)[p, b(t)*r]
[pb(t), H] = 0 - b(t)[p, b(t)*r]
[pb(t), H] = - b(t)[p, b(t)*r]
Таким образом, оператор p*b(t) не коммутирует с H и, следовательно, не является сохраняющейся величиной.
Теперь рассмотрим оператор H. Проверим его коммутацию с самим собой:
[H, H] = [(p^2/(2*m))-b(t)r, (p^2/(2m))-b(t)*r]
[H, H] = [(p^2/(2m)), (p^2/(2m))] - [(p^2/(2*m)), b(t)*r] - [b(t)r, (p^2/(2m))] + [b(t)*r, b(t)*r]
[H, H] = 0 - 0 - 0 + 0
[H, H] = 0
Таким образом, оператор H коммутирует с самим собой и, следовательно, является сохраняющейся величиной.
Наконец, рассмотрим оператор l*b(t). Проверим его коммутацию с H:
[lb(t), H] = [r x pb(t), (p^2/(2*m))-b(t)*r]
[lb(t), H] = [r x pb(t), (p^2/(2m))] - [r x pb(t), b(t)*r]
[lb(t), H] = [r x pb(t), (p^2/(2m))] - [r x pb(t), b(t)*r]
[lb(t), H] = [r x pb(t), (p^2/(2m))] - [r x pb(t), b(t)*r]
[lb(t), H] = [r, (p^2/(2m))] x pb(t) - r x [pb(t), b(t)*r]
[lb(t), H] = [r, p^2] x pb(t) - r x [p*b(t), b(t)*r]
[lb(t), H] = [r, p] x [p, p] x b(t) - r x [pb(t), b(t)*r]
[lb(t), H] = [r, p] x 0 x b(t) - r x [pb(t), b(t)*r]
[lb(t), H] = 0 - r x [pb(t), b(t)*r]
[lb(t), H] = - r x [pb(t), b(t)*r]
Таким образом, оператор l*b(t) не коммутирует с H и, следовательно, не является сохраняющейся величиной.
Итак, из всех перечисленных физических величин только оператор момента импульса l является сохраняющейся величиной.
