Рассмотрим короткий ряд из четырех наблюдений: 5, 4, 6, 5. Предположим, что ряд описывается моделью yt=yt−1+μ+ut, где величины (ut) независ...
Условие:
Рассмотрим короткий ряд из четырех наблюдений: 5, 4, 6, 5. Предположим, что ряд описывается моделью yt=yt−1+μ+ut, где величины (ut) независимы и нормально распределены N(0;σ2). Трактуя y1 как фиксированную константу, найдите оценку σ^2 методом максимального правдоподобия с точностью до двух знаков после десятичной точки.
Решение:
Для нахождения оценки σ^2 методом максимального правдоподобия, мы должны сначала записать функцию правдоподобия для данной модели.
По условию, модель описывается уравнением yt = yt−1 + μ + ut, где ut - независимые и нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и дисперсией σ^2.
Таким образом, вероятность получить наблюдаемые значения y1, y2, y3, y4 при заданных параметрах μ и σ^2 можно записать как:
L(μ, σ^2) = f(y1) * f(y2|y1) * f(y3|y2) * f(y4|y3)
где f(yt|yt−1) - функция плотности вероятности для нормального распределения с параметрами yt−1 + μ и σ^2.
Так как ut независимы и нормально распределены, функция плотности вероятности для каждого наблюдения будет иметь вид:
f(yt|yt−1) = (1 / √(2πσ^2)) * exp(-(yt - yt−1 - μ)^2 / (2σ^2))
Теперь мы можем записать функцию правдоподобия:
L(μ, σ^2) = (1 / √(2πσ^2))^4 * exp(-(y1 - μ)^2 / (2σ^2)) * exp(-(y2 - y1 - μ)^2 / (2σ^2)) * exp(-(y3 - y2 - μ)^2 / (2σ^2)) * exp(-(y4 - y3 - μ)^2 / (2σ^2))
Для нахождения оценки σ^2 методом максимального правдоподобия, мы должны максимизировать функцию правдоподобия по параметру σ^2. Это можно сделать, взяв логарифм от функции правдоподобия и продифференцировав его по σ^2, приравняв к нулю.
ln(L(μ, σ^2)) = -2ln(√(2πσ^2)) - (y1 - μ)^2 / (2σ^2) - (y2 - y1 - μ)^2 / (2σ^2) - (y3 - y2 - μ)^2 / (2σ^2) - (y4 - y3 - μ)^2 / (2σ^2)
Дифференцируя по σ^2 и приравнивая к нулю, получим:
d(ln(L(μ, σ^2))) / d(σ^2) = -2 / σ^2 + (y1 - μ)^2 / (2(σ^2)^2) + (y2 - y1 - μ)^2 / (2(σ^2)^2) + (y3 - y2 - μ)^2 / (2(σ^2)^2) + (y4 - y3 - μ)^2 / (2(σ^2)^2) = 0
Решая это уравнение относительно σ^2, мы найдем оценку методом максимального правдоподобия для σ^2.
Однако, для решения этого уравнения требуется знать значения y1, y2, y3, y4 и μ. В данном случае, у нас есть только значения y1, y2, y3, y4, но неизвестно значение μ. Поэтому, без дополнительной информации о μ, мы не можем найти оценку σ^2 методом максимального правдоподобия.
