Электрон с кинетической энергией 𝐸 = 15 эВ находится в металличе-ской пылинке диаметром 𝑑 = 1 мкм. Оценить относительную неточность ∆𝑥, ...
Условие:
Электрон с кинетической энергией 𝐸 = 15 эВ находится в металличе-ской пылинке диаметром 𝑑 = 1 мкм. Оценить относительную неточность ∆𝑥, с которой может быть определена скорость электрона.
Решение:
Для оценки относительной неточности ∆𝑥, с которой может быть определена скорость электрона, мы можем использовать принцип неопределенности Гейзенберга. Согласно этому принципу, существует фундаментальное ограничение на точность одновременного измерения координаты и импульса частицы.
Принцип неопределенности Гейзенберга гласит: ∆𝑥 ∙ ∆𝑝 ≥ ℏ/2,
где ∆𝑥 - неопределенность измерения координаты, ∆𝑝 - неопределенность измерения импульса, а ℏ - приведенная постоянная Планка (равная ℏ = ℎ/2π, где ℎ - постоянная Планка).
Для электрона с кинетической энергией 𝐸 = 15 эВ, мы можем использовать соотношение импульса и энергии для свободной частицы:
𝑝 = √(2𝑚𝐸),
где 𝑝 - импульс электрона, 𝑚 - его масса, а 𝐸 - кинетическая энергия.
Подставляя это выражение для импульса в принцип неопределенности Гейзенберга, получаем:
∆𝑥 ∙ √(2𝑚𝐸) ≥ ℏ/2.
Теперь мы можем оценить относительную неточность ∆𝑥:
∆𝑥/𝑥 ≥ (ℏ/2) / (𝑝𝑥) = (ℏ/2) / (√(2𝑚𝐸)𝑥),
где 𝑥 - размер пылинки.
Для оценки относительной неточности, нам нужно знать значения ℏ, 𝑚 и 𝑥. Значение приведенной постоянной Планка ℏ составляет приблизительно 1.05457 × 10^(-34) Дж·с. Масса электрона 𝑚 равна приблизительно 9.10938356 × 10^(-31) кг. Размер пылинки 𝑥 равен 1 мкм, что составляет 1 × 10^(-6) м.
Подставляя эти значения, мы можем оценить относительную неточность ∆𝑥:
∆𝑥/𝑥 ≥ (1.05457 × 10^(-34) Дж·с / 2) / (√(2 × 9.10938356 × 10^(-31) кг × 15 эВ) × 1 × 10^(-6) м).
Вычисляя это выражение, мы получим оценку относительной неточности ∆𝑥.
