найти точки условного экстремума функции используя метод множителей Лагранжа. z=x+y при (1/x)+(1/y)=1
Условие:
найти точки условного экстремума функции используя метод множителей Лагранжа. z=x+y при (1/x)+(1/y)=1
Решение:
Для нахождения точек условного экстремума функции z = x + y при условии (1/x) + (1/y) = 1, мы можем использовать метод множителей Лагранжа.
Сначала составим функцию Лагранжа, которая будет иметь вид:
L(x, y, λ) = x + y + λ((1/x) + (1/y) - 1)
Здесь λ - множитель Лагранжа, который мы будем использовать для учета условия (1/x) + (1/y) = 1.
Далее найдем частные производные функции Лагранжа по переменным x, y и λ:
∂L/∂x = 1 - λ/x^2 ∂L/∂y = 1 - λ/y^2 ∂L/∂λ = (1/x) + (1/y) - 1
Чтобы найти точки условного экстремума, мы должны приравнять эти частные производные к нулю и решить полученную систему уравнений.
1 - λ/x^2 = 0 1 - λ/y^2 = 0 (1/x) + (1/y) - 1 = 0
Из первых двух уравнений получаем:
λ = x^2 λ = y^2
Подставим эти значения λ в третье уравнение:
(1/x) + (1/y) - 1 = 0
Умножим это уравнение на xy, чтобы избавиться от знаменателей:
y + x - xy = 0
Теперь мы имеем систему уравнений:
λ = x^2 λ = y^2 y + x - xy = 0
Решим эту систему уравнений. Подставим значение λ из первого уравнения во второе:
x^2 = y^2
Теперь подставим это равенство в третье уравнение:
y + x - xy = 0
Подставим x = y в это уравнение:
2x - x^2 = 0
Решим это уравнение:
x(2 - x) = 0
Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = 2.
Если x = 0, то из уравнения x^2 = y^2 следует, что y = 0.
Если x = 2, то из уравнения x^2 = y^2 следует, что y = ±2.
Таким образом, мы получили три точки условного экстремума: (0, 0), (2, 2) и (2, -2).
