Задана функция f(x)=27^(1/(8-x)) и два значения аргумента x1=0 и x2=5. Требуется установить, является ли данная функция непрерывной или разр...
Условие:
Задана функция f(x)=27^(1/(8-x)) и два значения аргумента x1=0 и x2=5. Требуется установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента, и сделать схематический чертеж
Решение:
Для определения непрерывности функции f(x) в точке x=a, необходимо проверить три условия:
-
Функция f(x) должна быть определена в точке x=a. В данном случае, функция f(x) определена для любого значения x, кроме x=8, так как в знаменателе степени не может быть нуля. Таким образом, функция f(x) определена для x1=0 и x2=5.
-
Предел функции f(x) при x, стремящемся к a, должен существовать. Для точки x1=0, предел функции f(x) при x, стремящемся к 0, равен 27^(1/(8-0)) = 27^1 = 27. Для точки x2=5, предел функции f(x) при x, стремящемся к 5, равен 27^(1/(8-5)) = 27^(1/3).
-
Значение функции f(x) в точке x=a должно совпадать с пределом функции при x, стремящемся к a. Для точки x1=0, f(0) = 27^(1/(8-0)) = 27^1 = 27, что совпадает с пределом функции при x, стремящемся к 0. Для точки x2=5, f(5) = 27^(1/(8-5)) = 27^(1/3), что также совпадает с пределом функции при x, стремящемся к 5.
Таким образом, функция f(x) непрерывна для обоих значений аргумента x1=0 и x2=5.
Схематический чертеж функции f(x) можно построить следующим образом:
- Для x<8, функция f(x) будет положительной и монотонно убывающей, так как основание степени 27 больше 1 и показатель степени (8-x) увеличивается с увеличением x.
- При x=8, функция f(x) не определена, так как в знаменателе степени получается 0.
- Для x>8, функция f(x) будет положительной и монотонно возрастающей, так как основание степени 27 больше 1 и показатель степени (8-x) уменьшается с увеличением x.
Таким образом, схематический чертеж функции f(x) будет иметь вид:
^
|
|
|
|
|
|
|
|_______________________
0 5 8
Пожалуйста, обратите внимание, что схематический чертеж является приближенным и не отражает точные значения функции f(x) в каждой точке. Он служит только для визуализации общего поведения функции.
