Вычисли площадь фигуры, ограниченной линиями у=7/9х^2+1, y=5/9x^2+3
Условие:
Вычисли площадь фигуры, ограниченной линиями у=7/9х^2+1, y=5/9x^2+3
Решение:
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность функций между этими точками.
Для начала найдем точки пересечения двух кривых. Приравняем уравнения и решим полученное уравнение:
7/9x^2 + 1 = 5/9x^2 + 3
Вычтем 5/9x^2 из обеих частей:
2/9x^2 + 1 = 3
Вычтем 1 из обеих частей:
2/9x^2 = 2
Умножим обе части на 9/2:
x^2 = 9
Возьмем квадратный корень от обеих частей:
x = ±3
Таким образом, точки пересечения двух кривых - это (-3, ...) и (3, ...).
Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Для этого возьмем интеграл от разности функций между этими точками:
Площадь = ∫[от -3 до 3] [(7/9x^2 + 1) - (5/9x^2 + 3)] dx
Упростим выражение:
Площадь = ∫[от -3 до 3] (2/9x^2 - 2) dx
Вычислим интеграл:
Площадь = [2/27x^3 - 2x] от -3 до 3
Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
Площадь = (2/27(3)^3 - 2(3)) - (2/27(-3)^3 - 2(-3))
Площадь = (2/27(27) - 6) - (2/27(-27) + 6)
Площадь = (2 - 6) - (-2 + 6)
Площадь = -4 - (-2)
Площадь = -4 + 2
Площадь = -2
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна -2. Отрицательное значение площади может возникнуть, если кривые пересекаются в определенном порядке или если одна кривая находится ниже другой на определенном участке.