Кубик бросают 10 раз. Найти вероятность того, что 4 очка выпадет менее 7 раз. (10) 5. Случайная величина имеет распределение 24 f (x) = , x ...
Условие:
Кубик бросают 10 раз. Найти вероятность того, что 4 очка выпадет менее 7 раз. (10) 5. Случайная величина имеет распределение 24 f (x) = , x > 2. Найти функцию распределения F (х) математическое ожидание, дисперсию, и вероятность попадания слу-чайной величины в интервал (4; 5). (20) 6. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50 : На
Решение:
- Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность выпадения 4 очков в одном броске кубика равна 1/6. Таким образом, вероятность того, что 4 очка выпадет менее 7 раз из 10 бросков, можно вычислить следующим образом:
P(X < 7) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
где X - количество раз, когда выпало 4 очка.
Используя формулу биномиального распределения, мы можем вычислить каждую вероятность:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
где n - количество бросков, k - количество раз, когда выпало 4 очка, p - вероятность выпадения 4 очка в одном броске, C(n, k) - количество сочетаний из n по k.
Таким образом, мы можем вычислить вероятность:
P(X = 0) = C(10, 0) * (1/6)^0 * (5/6)^10 P(X = 1) = C(10, 1) * (1/6)^1 * (5/6)^9 P(X = 2) = C(10, 2) * (1/6)^2 * (5/6)^8 P(X = 3) = C(10, 3) * (1/6)^3 * (5/6)^7 P(X = 4) = C(10, 4) * (1/6)^4 * (5/6)^6 P(X = 5) = C(10, 5) * (1/6)^5 * (5/6)^5 P(X = 6) = C(10, 6) * (1/6)^6 * (5/6)^4
Вычислив каждую вероятность, мы можем сложить их, чтобы получить итоговую вероятность:
P(X < 7) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
- Для нахождения функции распределения F(x) нам нужно проинтегрировать плотность распределения f(x) от минимального значения до x:
F(x) = ∫[2, x] f(t) dt
Так как плотность распределения f(x) равна 24/(x^2), мы можем вычислить функцию распределения следующим образом:
F(x) = ∫[2, x] 24/(t^2) dt = -24/t |[2, x] = -24/x + 24/2 = -24/x + 12
Теперь мы можем вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Математическое ожидание E(X) для данной случайной величины можно вычислить следующим образом:
E(X) = ∫[2, ∞] x * f(x) dx
E(X) = ∫[2, ∞] x * (24/(x^2)) dx = 24 * ∫[2, ∞] (1/x) dx = 24 * ln(x) |[2, ∞] = 24 * ln(∞) - 24 * ln(2) = ∞
Так как интеграл расходится, математическое ожидание для данной случайной величины не существует.
Дисперсия Var(X) для данной случайной величины можно вычислить следующим образом:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
E(X^2) = ∫[2, ∞] x^2 * f(x) dx
E(X^2) = ∫[2, ∞] x^2 * (24/(x^2)) dx = 24 * ∫[2, ∞] dx = ∞
Так как интеграл расходится, дисперсия для данной случайной величины не существует.
Чтобы найти вероятность попадания случайной величины в интервал (4; 5), мы можем вычислить разность функций распределения в точках 4 и 5:
P(4 < X < 5) = F(5) - F(4) = (-24/5 + 12) - (-24/4 + 12) = -24/5 + 12 + 24/4 - 12 = -24/5 + 24/4 = -4.8 + 6 = 1.2
Таким образом, вероятность попадания случайной величины в интервал (4; 5) равна 1.2. Однако, заметим, что эта вероятность выходит за пределы интервала [0, 1], поэтому она некорректна. Вероятность не может быть больше 1. Возможно, в задаче была допущена ошибка или требуется дополнительная проверка данных.
