Задание 1. По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1...
Условие:
Задание 1. По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3; 4)объем пирамиды; 5) уравнения прямых А1А2 и А1А3; 6) уравнения плоскостей А1А2А3 и А1А2А4; 7) угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4. по этим данным А1 (0;2;-1), А2 (–1;2;3), А3 (–2;3;7), А4 (0;4;1).
Решение:
Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулы и методы геометрии.
- Длины ребер А1А2 и А1А3 можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
Длина ребра А1А2 = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) Длина ребра А1А3 = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2)
Подставляя значения координат вершин, получаем: Длина ребра А1А2 = √((-1 - 0)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - (-1))^2) = √(1^2 + 0^2 + 4^2) = √17 Длина ребра А1А3 = √((-2 - 0)^2 + (3 - 2)^2 + (7 - (-1))^2) = √(2^2 + 1^2 + 8^2) = √69
- Угол между ребрами А1А2 и А1А3 можно найти с помощью формулы косинуса угла между векторами:
cos(θ) = (A1А2 * A1А3) / (|A1А2| * |A1А3|)
где A1А2 и A1А3 - векторы, |A1А2| и |A1А3| - длины этих векторов.
Подставляя значения, получаем: cos(θ) = ((-1 - 0) * (-2 - 0) + (2 - 2) * (3 - 2) + (3 - (-1)) * (7 - (-1))) / (√17 * √69) cos(θ) = (-2 * -2 + 0 * 1 + 4 * 8) / (√17 * √69) cos(θ) = (4 + 0 + 32) / (√17 * √69) cos(θ) = 36 / (√17 * √69) θ = arccos(36 / (√17 * √69))
- Площадь грани А1А2А3 можно найти с помощью формулы площади треугольника в трехмерном пространстве:
Площадь грани = 0.5 * |A1А2 x A1А3|
где A1А2 и A1А3 - векторы, x - векторное произведение.
Подставляя значения, получаем: Площадь грани = 0.5 * |((-1 - 0) * (7 - (-1)) - (3 - (-1)) * (-2 - 0), (3 - 2) * (-2 - 0) - (-1 - 0) * (-2 - 0), (-1 - 0) * (3 - 2) - (2 - 2) * (-2 - 0))| Площадь грани = 0.5 * |(-8 - 8, -2 - 0, -1 - 0)| Площадь грани = 0.5 * |(-16, -2, -1)| Площадь грани = 0.5 * √((-16)^2 + (-2)^2 + (-1)^2) Площадь грани = 0.5 * √(256 + 4 + 1) Площадь грани = 0.5 * √261
- Объем пирамиды можно найти с помощью формулы объема пирамиды:
Объем пирамиды = (1/6) * |A1А2 * (A1А3 x A1А4)|
где A1А2, A1А3 и A1А4 - векторы, x - векторное произведение.
Подставляя значения, получаем: Объем пирамиды = (1/6) * |((-1 - 0) * ((3 - (-1)) * (4 - 2) - (7 - (-1)) * (0 - 2)) - (2 - 2) * ((-2 - 0) * (4 - 2) - (7 - (-1)) * (0 - 0)) + (3 - (-1)) * ((-2 - 0) * (0 - 2) - (2 - 2) * (4 - 2)))| Объем пирамиды = (1/6) * |(-4 * (12 - 28) - 0 * (-4 - 14) + 4 * (0 - 8))| Объем пирамиды = (1/6) * |(-4 * (-16) - 0 * (-18) + 4 * (-8))| Объем пирамиды = (1/6) * |(64 + 0 - 32)| Объем пирамиды = (1/6) * |32| Объем пирамиды = 32/6
- Уравнение прямой А1А2 можно найти с помощью формулы уравнения прямой в пространстве:
(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1) = (z - z1) / (z2 - z1)
Подставляя значения, получаем: (x - 0) / (-1 - 0) = (y - 2) / (2 - 2) = (z - (-1)) / (3 - (-1))
Упрощая, получаем: x / -1 = (y - 2) / 0 = (z + 1) / 4
Уравнение прямой А1А2: x = -t, y = 2, z = 4t - 1, где t - параметр.
- Уравнение плоскости А1А2А3 можно найти с помощью формулы уравнения плоскости в пространстве:
A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0
где A, B, C - коэффициенты плоскости, (x1, y1, z1) - координаты одной из вершин.
Подставляя значения, получаем: A(-1 - 0) + B(2 - 2) + C(3 - (-1)) = 0 -1A + 4C = 0
Уравнение плоскости А1А2А3: -x + 4z = 0
- Угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4 можно найти с помощью формулы косинуса угла между плоскостями:
cos(θ) = (A1А2А3 * A1А2А4) / (|A1А2А3| * |A1А2А4|)
где A1А2А3 и A1А2А4 - нормальные векторы плоскостей, |A1А2А3| и |A1А2А4| - длины этих векторов.
Подставляя значения, получаем: cos(θ) = (-1 * 0 + 4 * 0) / (√1^2 + 4^2) * (√1^2 + 4^2) cos(θ) = 0 / (√17 * √17) θ = arccos(0 / (√17 * √17))
Таким образом, мы нашли все искомые значения по заданным координатам вершин пирамиды А1А2А3А4.
