В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. Окружность, проходящая через точки Си D, касается стороны АВ в точке М, перес...
Условие:
Решение:
Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства трапеции и окружности.
По условию, сторона АВ трапеции ABCD перпендикулярна основаниям. Это означает, что углы А и В являются прямыми углами.
Также, по свойству трапеции, углы А и В суммируются до 180 градусов. Поэтому, углы С и D также суммируются до 180 градусов.
Поскольку окружность, проходящая через точки С и D, касается стороны АВ в точке М, то угол М равен 90 градусов.
Теперь рассмотрим треугольник DMC. По условию, площадь треугольника DMC составляет 4 единицы, а площадь треугольника АВМ составляет 3 единицы.
Площадь треугольника можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности, используя формулу S = pr, где S - площадь, p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
Так как треугольник DMC имеет площадь 4 единицы, а треугольник АВМ имеет площадь 3 единицы, то отношение их площадей равно 4/3.
Так как площадь треугольника пропорциональна квадрату радиуса вписанной окружности, то отношение площадей треугольников равно отношению квадратов радиусов окружностей, описанных вокруг треугольников.
Таким образом, (DMC/AVM) = (rDMC^2/rAVM^2) = (4/3).
Так как треугольники DMC и АВМ имеют общую сторону МС, то радиусы окружностей, описанных вокруг этих треугольников, равны.
Поэтому, (rDMC^2/rAVM^2) = (rDMC/rAVM)^2 = (4/3).
Так как (rDMC/rAVM)^2 = (4/3), то rDMC/rAVM = sqrt(4/3) = 2/√3.
Так как треугольники DMC и АВМ имеют общую сторону МС, то углы DMC и АВМ равны.
Таким образом, угол D равен углу А, и угол C равен углу В.
Также, угол DMC равен углу АВМ, так как они соответственные углы при параллельных прямых.
Таким образом, угол DMC равен углу АВМ, и угол DMC равен углу А.
Так как угол DMC равен углу АВМ, и угол DMC равен углу А, то угол АВМ равен углу А.
Таким образом, угол АВМ равен углу А, и угол АВМ равен углу В.
Итак, мы получили, что углы А, В, С и D равны друг другу и составляют 90 градусов каждый.
Также, точка N является основанием трапеции ABCD, поэтому она должна лежать на стороне АВ.
Таким образом, углы трапеции ABCD равны 90 градусов каждый, и точка N является основанием трапеции ABCD.