Через вершину P треугольника PQR, в котором PQ=PR, проведён перпендикуляр SP к плоскости треугольника. Найдите угол между плоскостями SQR и ...
Условие:
Через вершину P треугольника PQR, в котором PQ=PR, проведён перпендикуляр SP к плоскости треугольника. Найдите угол между плоскостями SQR и PQR, если SP=6 см, QR=4 корня из 13см, SR=10 см. (ответ введите в виде числа, без единиц измерения)
Решение:
Для решения этой задачи, нам понадобится использовать теорему косинусов.
Обозначим угол между плоскостями SQR и PQR как α.
Из условия задачи, мы знаем, что SP = 6 см, QR = 4√13 см и SR = 10 см.
Применим теорему косинусов к треугольнику SQR:
SR² = SQ² + QR² - 2 * SQ * QR * cos(α)
10² = SQ² + (4√13)² - 2 * SQ * 4√13 * cos(α)
100 = SQ² + 52 - 8√13 * SQ * cos(α)
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
SQ² - 8√13 * SQ * cos(α) + 48 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение относительно SQ, используя квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0:
a = 1, b = -8√13 * cos(α), c = 48
SQ = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
SQ = (-(-8√13 * cos(α)) ± √((-8√13 * cos(α))² - 4 * 1 * 48)) / (2 * 1)
SQ = (8√13 * cos(α) ± √(64 * 13 * cos²(α) - 192)) / 2
SQ = 4√13 * cos(α) ± √(832cos²(α) - 192) / 2
Так как PQ = PR, то SQ = SR - SP = 10 - 6 = 4 см.
Подставим это значение в уравнение:
4 = 4√13 * cos(α) ± √(832cos²(α) - 192) / 2
Упростим уравнение:
2 = √13 * cos(α) ± √(208cos²(α) - 48)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
4 = 13cos²(α) ± (208cos²(α) - 48)
4 = 13cos²(α) ± 208cos²(α) - 48
0 = 221cos²(α) - 52
221cos²(α) = 52
cos²(α) = 52 / 221
cos(α) = ± √(52 / 221)
cos(α) ≈ ± 0.382
Так как угол α находится в треугольнике, то он должен быть острый. Поэтому выбираем положительное значение:
cos(α) ≈ 0.382
Теперь найдем угол α, используя обратную функцию косинуса:
α ≈ arccos(0.382)
α ≈ 67.6 градусов
Таким образом, угол между плоскостями SQR и PQR составляет примерно 67.6 градусов.
