Диагонали трапеции MPQR пересекаются в точке D (MR и PQ большее и меньшее основания соответственно). Известно, что пло- щадь трапеции равна 98 и PD : DR = 2 : 5. Найдите площадь треугольника MPD.
Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойство подобных треугольников.
Поскольку PD : DR = 2 : 5, мы можем представить PD как 2x и DR как 5x, где x - некоторая постоянная.
Также, известно, что площадь трапеции MPQR равна 98. Площадь трапеции можно выразить через основания и высоту по формуле: S = (a + b) * h / 2, где a и b - основания трапеции, а h - высота.
Мы знаем, что основания трапеции - MR и PQ, и площадь равна 98. Подставим эти значения в формулу:
98 = (MR + PQ) * h / 2
Так как MR и PQ - это основания трапеции, то MR + PQ = MP + QR. Подставим это значение в уравнение:
98 = (MP + QR) * h / 2
Теперь мы можем выразить h через известные значения:
h = 2 * 98 / (MP + QR)
Так как треугольник MPD и треугольник MQR подобны, мы можем использовать соотношение площадей треугольников:
Площадь треугольника MPD / Площадь треугольника MQR = (MP^2) / (MQ^2)
Так как площадь треугольника MQR равна половине площади трапеции MPQR, то площадь треугольника MQR равна 98 / 2 = 49.
Подставим известные значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / (MQ^2)
Теперь нам нужно выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэтому 2x + 5x = PR.
PR = 7x
Так как MQ = PR - PQ, то MQ = 7x - PQ.
Подставим эти значения в формулу:
Площадь треугольника MPD / 49 = (MP^2) / ((7x - PQ)^2)
Теперь мы можем выразить MP через известные значения. Мы знаем, что PD : DR = 2 : 5, поэтому PD = 2x и DR = 5x. Также, мы знаем, что PD + DR = PR, поэт