На биссектрисе угла MNP отмечены точки O и K (N-O-K) так, что углы MOK и POK равны. Периметр MNO равен 29 см. NM вдвое длиннее NO и на 1 см ...
Условие:
Решение:
Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства биссектрисы и равенства углов.
Пусть длина отрезка NO равна x см. Тогда длина отрезка NM будет равна 2x см, а длина отрезка PO будет равна x + 1 см.
Так как углы MOK и POK равны, то треугольники MOK и POK подобны. Поэтому отношение длин сторон этих треугольников равно отношению длин биссектрис, то есть:
MO / PO = MK / PK
Подставим известные значения:
MO / (x + 1) = x / (2x)
Решим это уравнение относительно MO:
MO = (x + 1) * x / (2x)
Теперь найдем длину отрезка NP. Поскольку NP является биссектрисой угла MNO, то отношение длин сторон треугольников MNO и NPO также равно отношению длин биссектрис:
NO / NP = MO / PO
Подставим известные значения:
x / NP = (x + 1) * x / (2x)
Решим это уравнение относительно NP:
NP = 2x * x / ((x + 1) * x)
Теперь мы можем найти сумму длин отрезков NP и MO:
NP + MO = 2x * x / ((x + 1) * x) + (x + 1) * x / (2x)
Упростим это выражение:
NP + MO = (4x^2 + (x + 1)^2) / (2(x + 1))
Теперь подставим значение периметра MNO:
29 = NO + NM + MO
29 = x + 2x + (x + 1) * x / (2x)
29 = 3x + (x + 1) * x / (2x)
Упростим это выражение:
29 = 3x + (x^2 + x) / (2x)
Умножим обе части уравнения на 2x, чтобы избавиться от дроби:
58x = 6x^2 + 2x^2 + 2x
8x^2 + 2x - 58x = 0
10x^2 - 56x = 0
2x(5x - 28) = 0
Таким образом, получаем два возможных значения для x: x = 0 или x = 28/5.
Очевидно, что x не может быть равно нулю, так как это противоречит условию задачи. Поэтому x = 28/5.
Теперь мы можем найти значения NP и MO:
NP = 2 * (28/5) * (28/5) / ((28/5 + 1) * (28/5))
NP = 3136/425
MO = (28/5 + 1) * (28/5) / (2 * (28/5))
MO = 196/25
И, наконец, сумма длин отрезков NP и MO:
NP + MO = 3136/425 + 196/25
NP + MO = (3136 * 25 + 196 * 425) / (425 * 25)
NP + MO = 78500/10625
NP + MO = 7.37 см (округленно до двух знаков после запятой)
Таким образом, сумма длин отрезков NP и MO равна 7.37 см.